Question

已知f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；

(3)求f(x)(x>0)的最值．

Answer 1

 (1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，

即＝0恒成立，

则2(a＋b)x²＋2a＝0对任意的实数x恒成立．

∴a＝b＝0.

(2)∵f(x)＝ (x∈R)是奇函数，

∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．

任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁<x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝∵x＋1>0，x＋1>0，x₂－x₁>0，

而x₁，x₂∈[0,1]时，x₁x₂－1<0，

∴当x₁，x₂∈[0,1]时，f(x₁)－f(x₂)<0，

函数y＝f(x)是增加的；

当x₁，x₂∈[1，＋∞)时，f(x₁)－f(x₂)>0，

函数y＝f(x)是减少的．

又f(x)是奇函数，

∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的．

又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．

(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值 .

∴f(1)＝，∴函数的最大值为，无最小值．