Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx2-2x+2，a，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数h（x）=f（x）+g（x），当a=0时，h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的导数，利用导数大于0时f（x）是增函数，导数小于0时f（x）是减函数，得出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a=0时求出h（x）的导数，由h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，得h′（x）=0，即p（x）=bx²-2x+1在（0，1）上有且只有一个零点，解得b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

+lnx的定义域是（0，+∞），且f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

；
∴①若a≤0，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=a，
当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，
∴（0，a）是f（x）的单调减区间，（a，+∞）是f（x）的单调增区间；
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调减区间是（0，a），单调增区间是（a，+∞）；
（Ⅱ）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx²-2x+2+lnx，
∴h′（x）=bx-2+

1

x

=

bx2-2x+1

x

，
∵h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，
由h′（x）=0，得bx²-2x+1=0；
设p（x）=bx²-2x+1，
即p（x）在（0，1）上有且只有一个零点，且p（0）•p（1）＜0，
即（b×0²-2×0+1）（b×1²-2×1+1）＜0，
解得b＜1；
∴h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1；
∴b的取值范围是{b|b＜1}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的问题，是易错题．