Question

点M（m，4）m＞0为抛物线x²=2py（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，
（1）求m与p的值；
（2）以M点为切点作抛物线的切线，交y轴与点N，求△FMN的面积．

Answer 1

（1）∵点M（m，4）m＞0为抛物线x²=2py（p＞0）上一点，F为其焦点，已知|FM|=5，
∴抛物线定义可知，|FM|=

p

2

+4=5，
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y，
又∵M（m，4）在抛物线上，
∴m²=4×4，
∴m=4，
故p=2，m=4；
（2）由（1）可知，M（4，4），
由题意可知，切线的斜率k必定存在，
∴设过M点的切线方程为，y-4=k（x-4），
联立方程组可得，

x2=4y y-4=k(x-4)

，
消去y可得，x²-4kx+16k-16=0，
∵直线为抛物线的切线，则直线与抛物线只有一个交点，
∴x²-4kx+16k-16=0只有一个根，
∴△=16k²-64（k-1）=0，
∴k=2，
∴切线方程为y=2x-4，
∴切线与y轴的交点为N（0，-4），且抛物线的焦点为F（0，1），
∴S△FMN=

1

2

|FN|•m=

1

2

×5×4=10，
故△FMN的面积为10．