Question

如图，A是两条平行直线l₁，l₂之间的一个定点，且A到l₁，l₂的距离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在l₁，l₂上运动，且AB＜AC，

AB

cos∠ABC

=

AC

cos∠ACB

，则以下结论正确的序号是

 

．
①△ABC是直角三角形；
②

1

AB

+

2

AC

的最大值为

2

；
③（S_{四边形MBCN}）_min=（S_△ABC）_min+（S_△AMB+S_△ACN）_min；
④设△AMB的周长为y₁，△ACN的周长为y₂，则（y₁+y₂）_min=10．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：①由正弦定理得：

AB

AC

=

sinC

sinB

=

cosB

cosC

，则可求得sin2C=sin2B，进而根据∵AB≠AC，进而求得A+B的值，则A的值可求得．
②设∠BAM=θ(0＜θ＜

π

2

)，则可分别表示出∠CNA，AB，AC，MB，CN，
则

1

AB

+

2

AC

可表示出来，利用两角和公式整理后利用三角函数性质求得其最大值；
③分别运用θ表示出四边形MBCN，和三角形ABC的面积利用基本不等式求得其最小值；
用θ表示出y₁+y₂，令t=tan

θ

2

(0＜t＜1)，进而利用二次函数的性质求得其最小值．

解答： 解：①由正弦定理得：

AB

AC

=

sinC

sinB

=

cosB

cosC

，则sin2C=sin2B，又∵AB≠AC，∴B+C=

π

2

，A=

π

2

，
所以①正确；
②设∠BAM=θ(0＜θ＜

π

2

)，则∠CAN=

π

2

-θ，AB=

1

cosθ

，AC=

2

sinθ

，MB=tanθ，CN=2cotθ，
则

1

AB

+

2

AC

=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，(

1

AB

+

2

AC

)max=

2

，所以②正确；
③S四边形MBCN=

3

2

(tanθ+2cotθ)≥3

2

，S△ABC=

2

sin2θ

≥2S△AMB+S△ACN=

1

2

(4cotθ+tanθ)≥2，所以③错误；
④y1+y2=3+

1+sinθ

cosθ

+

2(1+cosθ)

sinθ

=3+

sin θ 2 +cos θ 2

cos θ 2 -sin θ 2

+

2cos θ 2

sin θ 2

，
令t=tan

θ

2

(0＜t＜1)，y1+y2=3+

t+1

1-t

+

2

t

≥10（当t=

1

2

时取等），所以④正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的应用，函数思想以及转化与化归思想的运用．