Question

6．定义域为R的函数f（x）满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 先构造函数，根据导数判断其单调性，再根据单调性即可求出．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-1}{{e}^{x}}$
∵f'（x）＜f（x）+1，
∴g'（x）＜0，
故g（x）在R上为减函数，而g（0）=$\frac{f（0）+1}{{e}^{0}}$=2
不等式$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$＜2化为g（x）＜g（0），
解得x＞0，
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．