Question

1．若函数f（x）=ax²+e^x在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{e}{2}$，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [-e，+∞）
• D． [-2e，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为2a≥-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：∵f′（x）=2ax+e^x，函数f（x）在（0，+∞）递增，
问题等价于f′（x）=2ax+e^x≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即2a≥-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）≤g（1）=-e，
∴2a≥-e，a≥-$\frac{e}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．