【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|
(1)若函数y=f(x)+x在R上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图像恒在y=1图像的下方,求实数a的取值范围;
(3)设a≥2时,求f(x)在区间[2,4]内的值域.
【答案】
(1)解:y=f(x)+x=x|a﹣x|+x=
由函数y=f(x)+x在R上是增函数,
则 即﹣1≤a≤1,
则a范围为﹣1≤a≤1
(2)解:由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<1恒成立,
即x|x﹣a|<1,当x∈[1,2]恒成立,即|a﹣x|< ,﹣
<x﹣a<
,
即为x﹣ ,
故只要x﹣ 且a
在x∈[1,2]上恒成立即可,
即有 即
(3)解:当a≥2时, ,f(x)=
(Ⅰ)当 即a>8时,f(x)在[2,4]上递增,f(x)min=f(2)=2a﹣4,f(x)max=f(4)=4a﹣16,∴值域为[2a﹣4,4a﹣16]
(Ⅱ)当2≤ ≤4,及4≤a≤8时,f(x)=f(
)=
,f(2)﹣f(4)=12﹣2a
若4≤a<6,值域为[4a﹣16, ];若6≤a≤8,则值域为[2a﹣4,
];
(Ⅲ)当1 ,即2≤a<4时f(x)min=0,且f(2)﹣f(4)=6﹣20,
若2≤a< ,则值域为[0,16﹣4a].,若
,则值域为[0,2a﹣4]
【解析】(1)y=f(x)+x=x|a﹣x|+x= ,要使函数y=f(x)+x在R上是增函数,只需
即可,(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<1恒成立即可,(3)当a≥2时,
,f(x)=
,根据二次函数的性质,分段求出值域即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义,需要了解利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能得出正确答案.
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【题目】如图,已知抛物线
,直线
与抛物线
相交于
两点,且当倾斜角为
的直线
经过抛物线
的焦点
时,有
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知圆,是否存在倾斜角不为
的直线
,使得线段
被圆
截成三等分?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修:坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数,实数
),曲线
(
为参数,实数
). 在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
交于
两点,与
交于
两点. 当
时,
;当
时,
.
(1)求的值; (2)求
的最大值.
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【题目】在某单位的职工食堂中,食堂每天以元/个的价格从面包店购进面包,然后以
元/个的价格出售.如果当天卖不完,剩下的面包以
元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料,得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了
个面包,以
(单位:个,
)表示面包的需求量,
(单位:元)表示利润.
(Ⅰ)求关于
的函数解析式;
(Ⅱ)求食堂每天面包需求量的中位数;
(Ⅲ)根据直方图估计利润不少于
元的概率;
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点
的极坐标方程为
.
(1)求点的直角坐标,并求曲线
的普通方程;
(2)设直线与曲线
的两个交点为
,求
的值.
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【题目】某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到以下数据:
单价x(元/件) | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 | 70 |
销量y(件) | 91 | 84 | 81 | 75 | 70 | 67 |
(I)画出散点图,并求关于
的回归方程;
(II)已知该产品的成本是36元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
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