Question

16．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间．
（2）x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[$2kπ+\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{3π}{2}$]是单调递减区间．
即$2kπ+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{2π}{3}$，
∴函数f（x）的单调减区间为[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
结合三角函数的图象和性质，可知：
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为2，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{5}{2}$，
故得x∈[0，$\frac{π}{4}$]上函数f（x）的值域为[2，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于中档题．