Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实数．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上是增函数，求a的取值范围（e为自然对数的底数）．
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有实数解．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入已知，由极值的定义易得答案；
（2）f（x）在区间（0，e]上是增函数转化为其导数f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，只需分离a，化为函数的最值即可；
（3）由（1）知|f（x）|≥1，令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，可求得其最大值，检验是否适合|f（x）|≥1，可得结论．

解答：解：（1）当a=-1时，f′（x）=（-x+lnx）′=-1+

1

x

，
令f′（x）=-1+

1

x

=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
故f（x）有极大值f（1）=-1
（2）求导可得f′（x）=a+

1

x

，由x∈（0，e]，得

1

x

∈[

1

e

，+∞)，
由于f（x）在区间（0，e]上是增函数，所以f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，
即a+

1

x

≥0在（0，e]上恒成立，所以a≥-

1

x

在（0，e]上恒成立，
由

1

x

∈[

1

e

，+∞)，知-

1

x

∈(-∞，-

1

e

]，即-

1

x

≤-

1

e

所以当a≥-

1

e

时，a≥-

1

x

恒成立，
故所求a的取值范围为：a≥-

1

e

（3）由（1）中的结论f（x）由唯一极值-1知，函数f（x）由最大值-1，
即f（x）≤-1，所以|f（x）|≥1，
令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，则g′（x）=

1-lnx

x2

当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（e）=

1

e

+

1

2

，
从而g（x）≤

1

e

+

1

2

，又

1

e

+

1

2

＜1，所以方程|f（x）|=

1nx

x

+

1

2

无实数解．

点评：本题为导数的综合应用，涉及极值最值以及恒成立问题，属中档题．