Question

如图是某建筑设计院为海南国际展览馆的主展厅的屋面和水平主梁位于中轴线一侧的垂直截面的设计图，设计师以屋面曲线C和水平主梁L的交噗O为原点，水平主梁所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，设计要求如下：屋面曲线C方程为y=

x

（x≥0），水平主梁对屋面曲线的支撑构成正三角形（称为支梁三角形）：△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n（n∈N*），其中P₁，P₂，P₃，…P_n在屋面曲线C上，O，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n在水平主梁上，记△OP₁Q₁的边长为a₁（米），△Q_k-1P_kQ_k的边长为a_k（米）（k=1，2，…，n，Q₀为坐标原点O），请你解答如下问题：
（Ⅰ）求a₁，a₂的值，并推导a_k关于k的表达式；
（Ⅱ）记△Q_k-1P_kQ_k的面积为b_k，T_n=b₁+b₂+…b_n，△OP_nQ_n的面积为t_n，定义δ _n=

Tn

tn

为防震系数，若要求防震系数为0.7，问共需要设计多少个支梁三角形？（参考公式1²+2²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意可知P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），从而可得

3

2

a₁=

1 2 a1

；从而求a₁，同理求a₂，记s_k=a₁+a₂+…+a_k；则点Q_k（s_k，0），设P_k+1（x_k+1，y_k+1）；则y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，再由y_k+1=

3

2

a_k+1可得{a_k}为等差数列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²可得T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；再求t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），从而可得δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，从而解得．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），
故

3

2

a₁=

1 2 a1

；
解得，a₁=

2

3

；
于是P₂（

2

3

+

1

2

a₂，

3

2

a₂），
则可得

3

2

a₂=

2 3 + 1 2 a2

，
解得，a₂=

4

3

；
记s_k=a₁+a₂+…+a_k；
则点Q_k（s_k，0），P_k+1（x_k+1，y_k+1）；
由题意可得，y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，
又y_k+1=

3

2

a_k+1，
所以

sk+sk+1

2

=

3

4

a²_k+1，
即s_k+s_k+1=

3

2

a²_k+1，
故s_k-1+s_k=

3

2

a²_k，
故a_k+1+a_k=

3

2

（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k），
又∵a_k+1＞0，a_k＞0，
故a_k+1-a_k=

2

3

（k≥2），又a₂-a₁=

2

3

；
故{a_k}为等差数列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由于b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²；
则T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；
又t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），
所以δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，
解得，n=10；
故共需要设计10个支梁三角形．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，同时考查了函数与数列在实际问题中的应用，属于中档题．