Question

已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x-lnx-2，g（x）=xlnx+x．
（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；
（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=0，得：x-2=lnx，画出函数y=x-2，y=lnx的图象，读出即可；（2）将问题转化为k＜

xlnx+x

x-1

在x＞1上恒成立，令h（x）=

xlnx+x

x-1

，求出最小值即可．

解答： （1）证明：令f（x）=0，得：x-2=lnx，
画出函数y=x-2，y=lnx的图象，如图示：
∴f（x）存在唯一的零点，
又f（3）=1-ln3＜0，f（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴零点属于（3，4）；

（2）解：由g（x）＞k（x-1）对任意的x＞1恒成立，
得：k＜

xlnx+x

x-1

，（x＞1），
令h（x）=

xlnx+x

x-1

，（x＞1），则h′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

=

f(x)

(x-1)2

，
设f（x₀）=0，则由（1）得：3＜x₀＜4，
∴h（x）在（1，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
而3＜h（3）=

3ln3+3

2

＜4，

8

3

＜h（4）=

4ln4+4

3

＜4，
∴h（x₀）＜4，
∴k的最大值是3．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．