Question

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1时取极值，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；令f′（-1）=-e^-1（-a+2a+1）=0，从而解得；
（2）由（1）知，f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．

解答： 解：（1）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；
则f′（-1）=-e^-1（-a+2a+1）=0，解得，a=-1；
故a=-1时，
f′（x）=-xe^x（x+1）；
经检验在x=-1处有极小值．
（2）①当a=0时，f′（x）=xe^x，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
②当2a+1=0，即a=-

1

2

时，f′（x）=-

1

2

x²e^x≤0，
故f（x）在R上是减函数；
③当a＞0时，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
当x∈（-

2a+1

a

，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-

2a+1

a

，0）上是减函数，在（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）上是增函数；
④当-

1

2

＜a＜0时，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
当x∈（0，-

2a+1

a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（-∞，0），（-

2a+1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，0），（-

2a+1

a

，+∞）上是减函数，在（0，-

2a+1

a

）上是增函数；
⑤当a＜-

1

2

时，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
当x∈（-

2a+1

a

，0）时，f′（x）＞0，
当x∈（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-

2a+1

a

，0）上是增函数，在（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时重点考查了分类讨论的应用，属于中档题．