Question

4．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最大值为（　　）

• A． 10
• B． 12
• C． 10+2$\sqrt{37}$
• D． 8

Answer 1

分析 可以A为坐标原点，边AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出A，B，C三点的坐标，并可设P（cosθ，sinθ），θ∈R．这样便可求出向量$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐标，从而求出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=-11cosθ-3\sqrt{3}sinθ+10$，根据两角和的正弦公式即可得到$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=-2\sqrt{37}sin（θ+α）+10$，而-1≤sin（θ+α）≤1，从而便可得出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值．

解答 解：以点A为原点，边AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，0），B（$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（4，0），P（2cosθ，2sinθ），θ∈R；
∴$\overrightarrow{PB}=（\frac{3}{2}-2cosθ，\frac{3\sqrt{3}}{2}-2sinθ）$，$\overrightarrow{PC}=（4-2cosθ，-2sinθ）$；
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=（\frac{3}{2}-2cosθ）（4-2cosθ）-$$2sinθ（\frac{3\sqrt{3}}{2}-2sinθ）$
=$-11cosθ-3\sqrt{3}sinθ+10$
=$-2\sqrt{37}sin（θ+α）+10$，其中α为锐角，且$tanα=\frac{11\sqrt{3}}{9}$，θ∈R；
∴sin（θ+α）=-1时，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$取最大值$10+2\sqrt{37}$．
故选C．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，而设P（cosθ，sinθ）非常关键，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，两角和的正弦公式，正弦函数的最值．