Question

4．某大型企业招聘会的现场，所有应聘者的初次面试都由张、王、李三位专家投票决定是否进入下一轮测试，张、王、李三位专家都有“通过”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个应聘者面试时，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类的概率均为$\frac{1}{3}$，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该应聘者初次面试获得“通过”，否则该应聘者不能获得“通过”．
（1）求应聘者甲的投票结果获得“通过”的概率；
（2）记应聘者乙的投票结果所含“通过”和“待定”票的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）应聘者甲的投票结果获得“通过”为事件A，则事件A包含甲获2张“通过”票或甲获3张“通过”票，张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为$\frac{1}{3}$，且三人投票相互没有影响，由此能求出应聘者甲最终获“通过”的概率．
（2）应聘者乙所获“通过”和“待定”票的票数之和X的所有数值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）应聘者甲的投票结果获得“通过”为事件A，
则事件A包含甲获2张“通过”票或甲获3张“通过”票，
∵张、王、李三位专家必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互没有影响，
∴应聘者甲最终获“通过”的概率为：
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{7}{27}$．
（2）应聘者乙所获“通过”和“待定”票的票数之和X的所有数值为0，1，2，3，
则P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）=\frac{12}{27}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．