Question

设函数f(x)＝e^x(sin x－cos x)(0≤x≤2 012π)，则函数f(x)的各极小值之和为(　　)

Answer 1

D

[解析]　f′(x)＝(e^x)′(sin x－cos x)＋e^x(sin x－cos x)′＝2e^xsin x，若f′(x)<0，则x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；若f′(x)>0，则x∈(2kπ，π＋2kπ)，k∈Z.所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e^2kπ＋2π[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e^2kπ＋2π×(0－1)＝－e^2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2 012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0，1 004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e^2π为首项，以e^2π为公比的等比数列，共有1 005项，故函数f(x)的各极小值之和为S_{1 005}＝－e^2π－e^4π－…－e^{2 010π}＝－，故选D.