Question

函数f(x)＝2^x和g(x)＝x³的图象的示意图如右图所示，设两函数的图象交于点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且x₁<x₂.

(1)请指出示意图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？
(2)若x₁∈，x₂∈，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}指出a，b的值，并说明理由；
(3)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2010)，g(2010)的大小．

Answer 1

(1)C₁对应的函数为g(x)＝x³，C₂对应的函数为f(x)＝2^x.
(2)a＝1，b＝9.
理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2^x－x³，则x₁，x₂为函数φ(x)的零点．
∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝2⁹－9³<0，φ(10)＝2¹⁰－10³>0，
∴方程φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x₁∈(1,2)，x₂∈(9,10)
因此整数a＝1，b＝9.
(3)从图象上可以看出，当x₁<x<x₂时，f(x)<g(x)，
∴f(6)<g(6)．
当x>x₂时，f(x)>g(x)，∴g(2010)<f(2010)．
∵g(6)<g(2010)，
∴f(6)<g(6)<g(2010)<f(2010)．

略