Question

7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB+sinC=$\frac{1}{R}$（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=a²-（b-c）²．
（1）求tanA的值；
（2）求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得：tan$\frac{A}{2}$．
（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由S=a²-（b-c）²得$\frac{1}{2}$bcsinA=2bc-2bccosA，
∴$\frac{1}{2}sinA=2（{1-cosA}），sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}=4{sin^2}\frac{A}{2}，tan\frac{A}{2}=\frac{1}{4}$，
∴$tanA=\frac{{2tan\frac{A}{2}}}{{1-{{tan}^2}\frac{A}{2}}}=\frac{8}{15}$．
（2）由$sinB+sinC=\frac{1}{R}$，利用正弦定理可得：b+c=2．
由$tanA=\frac{8}{15}$得$sinA=\frac{8}{17}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{4}{17}bc≤\frac{4}{17}{（{\frac{b+c}{2}}）^2}=\frac{4}{17}$，当且仅当b=c=1时，取“=”号．
于是，△ABC的面积S最大值为$\frac{4}{17}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．