Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}，1≤x≤3}\\{{2}^{x}-8，x＞3}\end{array}\right.$，若F（x）=f（x）-kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 问题转化为f（x）和y=kx有3个交点，画出函数f（x）和y=kx的图象，求出临界值，从而求出k的范围即可．

解答 解：若F（x）=f（x）-kx在其定义域内有3个零点，
即f（x）和y=kx有3个交点，
画出函数f（x）和y=kx的图象，如图示：
，
点（2，0）到直线y=kx的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故：0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及点到直线的距离，是一道中档题．