Question

1．在△ABC中，$B（{-2\sqrt{3}，0}）$，$C（{2\sqrt{3}，0}）$，且△ABC的周长为$8+4\sqrt{3}$．
（1）求点A的轨迹方程C；
（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4$\sqrt{3}$，|BC|=4$\sqrt{3}$．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，联立解得即可得出．
（2）设直线与曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中点坐标公式可得：x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．由A，B在椭圆上，可得$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4$\sqrt{3}$，|BC|=4$\sqrt{3}$．
∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．
∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．
设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
则2a=8，c=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，
联立解得a=4，b=2．
$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1（y≠0）$．
（2）设直线与曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．∵A，B在椭圆上，∴$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$
两式相减，得$（{x_1}^2-{x_2}^2）+4（{y_1}^2-{y_2}^2）=0$∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{-（{x_1}+{x_2}）}}{{4（{y_1}+{y_2}）}}=-\frac{1}{2}$，
∴${k_{AB}}=-\frac{1}{2}$，∴直线方程为x+2y-4=0．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．