Question

6．设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且$f（\frac{π}{2}）=0$，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式$f（x）＜2f（\frac{π}{6}）sinx$的解集为（　　）

• A． $（-\frac{π}{6}，0）∪（0，\frac{π}{6}）$
• B． $（-\frac{π}{6}，0）∪（\frac{π}{6}，π）$
• C． $（-π，-\frac{π}{6}）∪（\frac{π}{6}，π）$
• D． $（-π，-\frac{π}{6}）∪（0，\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=$\frac{f（-x）}{sin（-x）}$=$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（-π，0）上单调递增．
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{f（\frac{π}{2}）}{sin\frac{π}{2}}$=0，
∵f（x）＜2f（$\frac{π}{6}$）sinx，
即g（$\frac{π}{6}$）•sinx＞f（x）；
①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（$\frac{π}{6}$）＞$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）；
所以x∈（$\frac{π}{6}$，π）；
②当sinx＜0时，即x∈（-π，0）时，g（$\frac{π}{6}$）=g（-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）；
所以x∈（-$\frac{π}{6}$，0）；
不等式f（x）＜2f（$\frac{π}{6}$）sinx的解集为解集为（-$\frac{π}{6}$，0）∪（$\frac{π}{6}$，π）．
故选：B．

点评 求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之．