Question

16．已知$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，x∈R，且f（x）为奇函数．
（I）求a的值及f（x）的解析式；
（II）判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根据函数f（x）为奇函数，对应的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根据对数函数的单调性以及指数函数的值域即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$+a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=0，
解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R递减，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R递增．

点评 本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决问题的关键在于把问题转化为f（-x）+f（x）=0恒成立求出a的值．