Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，则数列$\{a_n^2\}$的前n项和T_n=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

Answer 1

分析 根据已知条件${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$推出等比数列的通项公式a_n，进而可求a_n²，且可得数列{a_n²}是以4为首项，以4为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可求

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=$\frac{4}{3}$（a₁-1），则a₁=4．
当n≥2时，∵${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，①
∴S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-1），②
由①-②，得
a_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{4}{3}$a_n-1，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），
∴{a_n}是一个以4为首项，4为公比的等比数列，
则a_n=4ⁿ．
∴数列{a_n²}是以16为首项，以16为公比的等比数列，
由等比数列的求和公式可得，T_n=$\frac{16（1-1{6}^{n}）}{1-16}$=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．
故答案是：$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

点评 本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，等比数列的性质的应用，等比数列的求和公式的应用，属于基本知识的综合应用．