Question

5．定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．例如函数$y=\sqrt{x}$在[1，9]上就具有“DK”性质．
（1）判断函数f（x）=x²-2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；
（2）若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据新定义进行判断即可．
（2）根据二次函数的性质，求出对称轴，对其进行讨论，根据新定义求解．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x+2，x∈[1，2]，
对称轴x=1，开口向上．
当x=1时，取得最小值为f（1）=1，
∴f（x）_min=f（1）=1≤1，
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．
（2）g（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其图象的对称轴方程为$x=\frac{a}{2}$．
①当$\frac{a}{2}≥0$，即a≥0时，$g{（x）_{min}}=g（a）={a^2}-{a^2}+2=2$．
若函数g（x）具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2．
②当$a＜\frac{a}{2}＜a+1$，即-2＜a＜0时，$g{（x）_{min}}=g（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}+2$．
若函数g（x）具有“DK”性质，则有$-\frac{a^2}{4}+2≤a$总成立，解得a无解．
③当$\frac{a}{2}≥a+1$，即a≤-2时，g（x）_min=g（a+1）=a+3．
若函数g（x）具有“DK”性质，则有a+3≤a，解得a无解．
综上所述，若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，则a≥2．

点评 本题考查了对新定义的理解和运用与二次函数的性质的结合讨论最小值的问题．属于中档题．