Question

11．已知二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞）．
（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断此函数在[$\frac{2}{a}$，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）由二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域，推出ac=4，判断f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），得到此函数是非奇非偶函数．
（2）求出函数的单调递增区间．设x₁、x₂是满足${x_2}＞{x_1}≥\frac{2}{a}$的任意两个数，列出不等式，推出f（x₂）＞f（x₁），即可判断函数是单调递增．
（3）f（x）=ax²-4x+c，当${x_0}=\frac{2}{a}≥1$，即0＜a≤2时，当${x_0}=\frac{2}{a}＜1$，即a＞2时求出最小值即可．

解答 （16分）解：（1）由二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且$\frac{4ac-16}{4a}=0$，
解得ac=4．…（2分）
∵f（1）=a+c-4，f（-1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
∴此函数是非奇非偶函数．…（6分）
（2）函数的单调递增区间是[$\frac{2}{a}$，+∞）．设x₁、x₂是满足${x_2}＞{x_1}≥\frac{2}{a}$的任意两个数，从而有${x_2}-\frac{2}{a}＞{x_1}-\frac{2}{a}≥0$，∴${（{x_2}-\frac{2}{a}）^2}＞{（{x_1}-\frac{2}{a}）^2}$．又a＞0，∴$a{（{x_2}-\frac{2}{a}）^2}＞a{（{x_1}-\frac{2}{a}）^2}$，
从而$a{（{x_2}-\frac{2}{a}）^2}+c-\frac{4}{a}＞a{（{x_1}-\frac{2}{a}）^2}+c-\frac{4}{a}$，
即$ax_2^2-4{x_2}+c＞ax_1^2-4{x_1}+c$，从而f（x₂）＞f（x₁），∴函数在[$\frac{2}{a}$，+∞）上是单调递增．…（10分）
（3）f（x）=ax²-4x+c，又a＞0，${x_0}=\frac{2}{a}$，x∈[1，+∞）
当${x_0}=\frac{2}{a}≥1$，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x₀）=0
当${x_0}=\frac{2}{a}＜1$，即a＞2时，最小值$g（a）=f（1）=a+c-4=a+\frac{4}{a}-4$
综上，最小值$g（a）=\left\{{\begin{array}{l}0&{0＜a≤2}\\{a+\frac{4}{a}-4}&{a＞2}\end{array}}\right.$…（14分）
当0＜a≤2时，最小值g（a）=0
当a＞2时，最小值$g（a）=a+\frac{4}{a}-4∈（0，+∞）$
综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…（16分）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的单调性以及二次函数的对称轴的关系，函数的最值的求法，考查计算能力．