Question

已知抛物线：y²=4x，
（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；
（2）定点A（2，0），P为抛物线上任意一点，求线段长|PA|的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立

y=kx+1 y2=4x

，k²x²+（2k-4）x+1=0，对k分类讨论：当k=0；当k≠0时，由△=0即可得出．
（2）设P（x，y），则|PA|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+4x

=

x2+4

(x≥0)，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）联立

y=kx+1 y2=4x

，k²x²+（2k-4）x+1=0，
当k=0时，交点为(

1

4

，1)，满足题意；
当k≠0时，由△=0得k=1，综上，k=0或1．
（2）设P（x，y），则|PA|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+4x

=

x2+4

(x≥0)，
故当x=0时，|PA|_min=2．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系转化为方程联立、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．