Question

已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.

(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

（1）k＝－1. （2）(0，＋∞)

【解析】(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，

即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，

∴k＝－1.

(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，

即2x＋k·2－x＞2－x成立，

∴1－k＜22x对x≥0恒成立，

∴1－k＜(22x)min，

∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，

∴(22x)min＝1，

∴k＞0.

∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．