Question

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．
1）求a、k的值（12’）；
2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图
像，写出y=g（x）的解析式；
3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取最小值时的x的值．

Answer 1

解：1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（-1，1）点，
∴1=a^k-1…①
又∵函数f（x）=a^x+k其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．
故函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的图象过（2，8）点，
∴8=a^k+2…①
由①②得
a=2，k=1
2）由1）得f（x）=2^x+1
∴y=f^-1（x）=log₂x-1
将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=log₂（x-2）-1+1
∴g（x）=log₂（x+2），（x＞-2）；
3）∵函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），
又∵g（x）=log₂（x+2），f^-1（x）=log₂x-1
∴g（x²）=log₂（x²+2），
∴F（x）=g（x²）-f^-1（x）=log₂（x²+2）-log₂x+1
∴．
分析：1）由已知中函数f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），可得函数f（x）的图象过（2，8）点，再由函数f（x）的图象过（-1，1）点，代入构造关于a，k的方程组，解方程组即可得到a、k的值；
2）由1）中结论，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而求出其反函数f^-1（x）的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，得到y=g（x）的解析式；
3）由函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），我们可以求出函数F（x）的解析式，根据基本不等式，我们可以确定出真数部分的取值范围，进而再由对数函数的单调性即可得到F（x）的最小值及取最小值时的x的值．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，函数图象的平移变换，基本不等式在求函数最小值时的应用，反函数，其中（1）的关键是根据已知函数f（x）=a^x+k的反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），得到函数f（x）的图象过（2，8）点，（2）的关键是熟练掌握函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，（3）的关键是利用基本不等式求出函数F（x）解析式中真数部分的最值．