【题目】如图所示,在四棱锥中,底面四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,
.
求证:平面
平面PBD;
若
,
,
,E为线段PA的中点,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接PO,推导出AC⊥BD,PO⊥AC.由此能证明AC⊥平面PBD,从而平面PAC⊥平面PBD.
(2)求出BD,PO.推导出PO⊥BD,PO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值.
如图所示,连接PO.
在菱形ABCD中,O是AC的中点,且,
,
在
中,
.
又,PO、
平面PBD,
平面PBD.
又平面PAC,
平面
平面
在菱形ABCD中,
,
,则
,
又,
.
在等边
中,
,
.
是BD的中点,
,
在
中,
,
.
又,AC,
平面ABCD,
平面
以O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题知0,
,
1,
,
,
0,
为线段PA的中点,
,
,
0,
,
设y,
是平面BDE的一个法向量,
则,
.
设y,
是平面CDE的一个法向量,
则,
,
由图知二面角为锐角,二面角
的余弦值为
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
与曲线
相交于
两点,与
轴相交于点
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)求的值.
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【题目】将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作,要求每一个地方至少安排一名志愿者,其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作,则不同的安排方法共有
A. 24种B. 30种C. 32种D. 36种
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【题目】某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).
根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数 (颗)和温差
(
)具有线性相关关系.
(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差
(
)的回归方程
;
(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.
附:,
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【题目】如图所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种色可供使用,则不同的染色方法种数为( )
A.240B.360C.420D.960
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【题目】已知函数的图象如图所示,令
,则下列关于函数
的说法中不正确的是( )
A. 函数图象的对称轴方程为
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点
,使得在
点处的切线与直线
:
平行
D. 方程的两个不同的解分别为
,
,则
最小值为
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【题目】操场上有100个人排成一圈,按顺时针方向依次标为,
,…,
.主持人将编号为l,2,…,50的纪念品按照以下方式依次分发给众人:先将第l号纪念品交给
;然后顺时针跳过1个人,将第2号纪念品交给
;再顺时针跳过2个人,将第3号纪念品交给
,……第
次顺时针跳过
个人,将第
号纪念品交给
,其中,
,如此下去,直到纪念品发完为止.试求得到纪念品最多的人及其所得纪念品的编号.
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