Question

已知函数f（x）=x²-4ax，当a＞

1

2

时，对x₁＜x₂＜1恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意把|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|化为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，进一步转化为当x＜1时f′（x）＜-2，求出原函数的导函数，则可转化为a＞

1

2

(x+1)对x＜1恒成立，则a的范围可求．

解答： 解：由|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，得
|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2，
∵函数f（x）=x²-4ax的对称轴方程为x=2a，
当a＞

1

2

时，2a＞1，
则对x₁＜x₂＜1时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
则|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2化为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，
问题转化为当x＜1时，f′（x）＜-2恒成立，
∵f（x）=x²-4ax，
∴f′（x）=2x-4a，
即2x-4a＜-2对x＜1恒成立，即a＞

1

2

(x+1)对x＜1恒成立，
∵

1

2

(x+1)＜1，
∴a≥1．
∴实数a的取值范围是a≥1．
故答案为：a≥1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解与运用，是中档题．