Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4

3

，AD=4

3

，AA₁=4，求：
（1）A₁B与DC所成的角；
（2）A₁C₁与AD所成的角；
（3）AC₁与DD₁所成的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：①长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由A₁C₁∥AC，知∠BCA是BC和A₁C₁所成的角，由此能求出BC和A₁C₁所成的角．
②由AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，能求出AA₁和B₁C₁所成的角．

解答： 解：如图（1）∵DC∥AB，
∴A₁B与DC所成的角为∠ABA₁；
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4

3

，AD=4

3

，AA₁=4，
∴tan∠ABA₁=

AA1

AB

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠ABA₁=30°，
∴A₁B与DC所成的角为30°；
（2）∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁与AD所成的角是∠DAC，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4

3

，AD=4

3

，
∴∠DAC=45°，
∴A₁C₁与AD所成的角是45°．
（2）∵DD₁∥CC₁，
∴AC₁与DD₁所成的是∠AC₁C，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4

3

，AD=4

3

，AA₁=4，
∴cos∠AC₁C=

CC1

AC1

=

4

AB2+BC2+CC12

=

4

4 7

=

7

7

，
∴AC₁与DD₁所成的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，根据异面直线所成角的定义关键找出平面角．解题要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．