Question

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x²-y²=4相交于A，B两点，则线段AB的长度为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，求解直线的方程，然后，联立方程组，结合弦长公式进行求解弦长．

解答： 解：∵直线倾斜角为30°，
∴k=tan30°=

3

3

，
∴直线的方程为：y-0=

3

3

（x+3），
即y=

3

3

（x+3），
联立方程组

y= 3 3 (x+3) x2-y2=4

，
消去y，并整理，得
2x²-6x-21=0，
∴x₁•x₂=-

21

2

，x₁+x₂=3，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，
=2

17

．
∴|AB|=2

17

．
故答案为：2

17

．

点评：本题重点考查了直线方程、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题，解题关键是正确应用弦长公式．