Question

【题目】设函数f（x）=（1-x2）ex．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递减，在（-1-，-1+）上单调递增；（2）[1，+∞）.

【解析】试题分析：（1）求导，令，求出极值点，利用导函数的符号，即可求出的单调性；（2）先化简，由，对分类讨论：①当时，构造新函数，再对求导，得的单调性，即可得的取值范围；②当时，构造新函数，得的单调性，再由试根法即可得出结论；③当时，利用试根法即可得出结论；然后得出的取值范围.

试题解析：（1）因为f（x）=（1-x2）ex，x∈R，

所以f′（x）=（1-2x-x2）ex，

令f′（x）=0可知x=-1±，

当x＜-1-或x＞-1+时f′（x）＜0，当-1-＜x＜-1+时f′（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递减，在（-1-，-1+）上单调递增；

（2）由题可知f（x）=（1-x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：

①当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，则h′（x）=-xex＜0（x＞0），

因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，

又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，

所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；

②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0（x＞0），

所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，

又g（0）=1-0-1=0，

所以ex≥x+1．

因为当0＜x＜1时f（x）＞（1-x）（1+x）2，

所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），

取x0=∈（0，1），则（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0，

所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；

③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；

综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．