Question

已知向量a=(x²,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

Answer 1

解：解法1：依定义f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

则f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f′(x)≥0.

∴f′(x)≥0t≥3x²-2x，在区间（-1，1）上恒成立，考虑函数g(x)=3x²-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=，开口向上的抛物线，故要使t≥3x²-2x在区间（-1，1）上恒成立t≥g(-1),即t≥5.

而当t≥5时，f′(x)在（-1，1）上满足f′(x)＞0，即f(x)在（-1，1）上是增函数.

故t的取值范围是t≥5.

解法2：依定义f(x)=x²(1-x)+t(x+1)=-x³+x²+tx+t,

f′(x)=-3x²+2x+t.

若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f′(x)≥0.

∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，

∴当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时，

f′(x)在（-1，1）上满足f′(x)＞0,即f(x)在（-1，1）上是增函数.

故t的取值范围是t≥5.