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    在椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）上取一点，P与长轴两端点A、B的连线分别交短轴所在直线于M，N两点，设O为原点，求证：|OM|•|ON|为定值．
    考点：椭圆的简单性质
    专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：设点P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），由三点共线则斜率相等，得到方程，再由P在椭圆上得到方程，化简整理，即可得到定值．
    解答： 证明：设点P（x，y），A（-a，0），B（a，0），M（0，m），N（0，n），
    则
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1，即有y2=b2•
    a2-x2
    a2

    则由P，A，M三点共线，可得，
    y
    x+a
    =
    m
    a
    ，
    由P，N，B共线，可得，
    y
    x-a
    =
    n
    -a
    ，
    上两式相乘可得，
    y2
    x2-a2
    =
    mn
    -a2
    ，
    即有-
    b2
    a2
    =
    mn
    -a2
    ，则mn=b2，
    故|OM|•|ON|为定值b2．
    点评：本题考查椭圆方程和运用，考查直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在△ABC中，己知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若
    AM
    =λ
    AB
    +μ
    BC
    ，则λ+μ=（　　）
    A、
    1
    2
    B、
    2
    3
    C、
    3
    4
    D、1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    解不等式组：
    2sinx-
    		2
    ＞0
    2cosx≤1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右顶点为A（a，0），离心率为
    		5
    3
    ，过点A的直线交椭圆于另一点B，若AB的中点坐标为（1，-
    2
    		2
    3
    ），则E的方程为（　　）
    A、
    x2
    18
    +
    y2
    10
    =1
    B、
    x2
    18
    +
    y2
    8
    =1
    C、
    x2
    9
    +
    y2
    5
    =1
    D、
    x2
    9
    +
    y2
    4
    =1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    己知函数f（x）=x，g（x）=ln（1+x）
    （1）证明：当x＞0时，恒有f（x）＞g（x）；
    （2）当x＞0时，不等式g（x）＞
    kx
    k+x
    （k≥0）恒成立，求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f（x）=
    1
    xlnx
    的单调减区间是（　　）
    A、（0，
    1
    e
    ）
    B、（
    1
    e
    ，+∞）
    C、（
    1
    e
    ，1）∪（1，+∞）
    D、（ 
    1
    e
    ，1），（1，+∞）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=ax-ln（x+1）a+1（x＞-1，a∈R）．
    （1）设a＞0，x＞0，求证：f（x）＞-x；
    （2）求f（x）的单调递增区间；
    （3）求证：
    ln2
    22
    +
    ln3
    32
    +…+
    lnn
    n2
    ＜
    n
    2
    -
    5
    8
    （n为正整数）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    2013年某时刻，在钓鱼岛附近的海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（
    		3
    -1）海里的B处有一艘日本走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的中国巡逻舰，奉命以10
    		3
    海里/时的速度追截日本走私船，此时日本走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：中国巡逻舰沿什么方向行驶才能最快截获日本走私船？并求出所需时间．（改编题）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f(x)=
    ax+bx≤0
    logc(x+
    1
    9
    )x＞0
    的部分图象如图所示
    （1）求函数f（x）的表达式；
    （2）探讨关于x的方程f2（x）+b|f（x）|-1=0（b∈R）根的个数．

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