Question

已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若．x₁∈（0，），x₂∈（2，∞）且a∈[，2]时，求证：，f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．

Answer 1

解：（I）由f（x）=alnx+（a≠0），
得：，
∵a≠0，令，
∴g（0）=1＞0．
令或，
则0＜a＜2．
（II）由（I）得：，
设ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，
则，得．
当x∈（0，α）和（β，+∞）时，，
函数f（x）单调递增；
当x∈和（2，β）时，，
函数f（x）单调递减，
则f（x₁）≤f（a），f（x₂）≥f（β），
则f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）=alnβ-alnα-
=
=（利用）
令，x＞2
则，
则函数h（x）单调递增，
h（x）≥h（2）=2ln2+，
∴，
∵，
则，
∴f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．
分析：（I）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，由a≠0，令，知g（0）=1＞0．由此能求出实数a的范围．
（II）由（I）得：，设ax²-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，则，得．由此入手能够证明f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．
点评：本题考查实数的取值范围的求法和不等式的证明，考查利用导数求闭区间上最值的应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．