Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中M：x²+y²=15），其部分图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)在区间[0，

π

2

]上的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象求出A，T，然后求出ω，利用函数图象经过（

π

4

，1），以及φ的范围，求出φ，得到函数的解析式．
（2）利用（1）求出函数g（x）的解析式，通过二倍角公式，角的范围，确定函数的最大值以及相应的x 的值．

解答：解：（1）由图可知  A=1，
T=4×

π

2

=2π，ω=1，
又f（x）=1，即sin（

π

4

+φ）=1且φ∈(-

π

2

，

π

2

)，
所以φ=

π

4

，
函数f（x）=sin（x+

π

4

）．
（2）由（1）可知g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)
=sin（x+

π

4

+

π

4

）sin（x-

π

4

+

π

4

）
=cosxsinx
=

1

2

sin2x，
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x∈[0，π]
sin2x∈[0，1]
g（x） 的最大值为

1

2

，此时x=

π

4

．

点评：本题考查三角函数的图象的应用，通过函数的图象求出函数的解析式，考查学生的视图用图能力，正确选择图象上的特殊点是解题的关键，求最大值是考查基本知识的应用以及计算能力．