Question

【题目】如图1，在边长为的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得，如图2所示，点在上，，、分别为、中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连结、，利用中位线可得且，由直棱锥性质可知且，即可证得四边形是平行四边形，进而，再由线面平行的判定定理说明即可；

（2）由余弦定理，已知以及勾股定理可说明，易证，由线面垂直的判定定理和性质定理可说明，由等腰三角形说明，进而可证平面，，则为二面角的平面角，最后在中求得答案.

（1）证明：（法一）

如图取中点，连结、，

则在中由中位线定理可知且，

又由原正方形可得且

且，

四边形是平行四边形，

，

又平面，平面，

平面.

法二：

如图，延长、交于点，连结，

且，

，

为中点，

中位线

又平面，面，

平面.

（2）解：（法一）

如图，因为，，

所以，

又.所以，，

，

，

，，

又，，，

平面，平面，.

又，平面，面，

又为中点，即，所以，

，平面，，

为二面角的平面角.

在中，，，

，

二面角的余弦值为.

法二：

如图，，，

，

又.所以，，

，

，

，，

又，，，

平面，平面，

.

又，

平面，面，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，

而是平面的一个法向量

设平面的法向量为，

由，即，

令，则，

面的一个法向量为，

设二面角大小为，由图，.

.

二面角的余弦值为.