Question

17．已知A、B、C三点坐标分别为（0，-2），（0，0），（3，1），点M满足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，点N满足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，点P满足PM⊥PN，则P点的轨迹方程是x²+y²-2x-y=0．

Answer 1

分析 利用点M满足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，点N满足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，求出M，N的坐标，利用点P满足PM⊥PN，求出P点的轨迹方程．

解答 解：由题意，设M（a，b），N（m，n），则
∵A、B、C三点坐标分别为（0，-2），（0，0），（3，1），点M满足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，点N满足$\overrightarrow{AN}$=-3$\overrightarrow{NB}$，
∴（a，b+2）=2（3-a，1-b），（m，n+2）=-3（-m，-n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=6-2a}\\{b+2=2-2b}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3m}\\{n+2=3n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴M（2，0），N（0，1），
设P（x，y），则
∵PM⊥PN，
∴（2-x，-y）•（-x，1-y）=0，
∴-x（2-x）-y（1-y）=0，
∴x²+y²-2x-y=0．
故答案为：x²+y²-2x-y=0．

点评 本题考查点P满足PM⊥PN，求P点的轨迹方程，确定M，N的坐标是关键．