Question

12．在RT△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC=6，M斜边AB的中点，N为AB上一点，MN=2$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的值为（　　）

• A． 18 $\sqrt{2}$
• B． 16
• C． 24
• D． 18

Answer 1

分析 以C为原点，以BC为x轴，以AB为y轴，建立如图所述的平面直角坐标系，分别表示点的坐标，根据向量的坐标运算即可求出答案．

解答 解：以C为原点，以BC为x轴，以AB为y轴，建立如图所述的平面直角坐标系，
则A（0，6），B（6，0），C（0，0），M=（3，3），
∵AC=BC=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∵N为AB上一点，MN=2$\sqrt{2}$，
∴BN=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴N（5，1），
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（3，3）•（5，1）=3×5+1×3=18，
∵N为AB上一点，MN=2$\sqrt{2}$，
∴AN₁=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴N₁（1，5），
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（3，3）•（1，5）=3×1+3×5=18，
故选：D

点评 本题考查了向量的坐标运算，关键时构建平面直角坐标系，属于中档题．