Question

已知函数f（x）=ax²-|x-a|
（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[3，+∞）上的值域．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，求不等式即 3x²-|x-3|＞7，故有①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．分别求得解①和②的解集，再取并集，即得所求．
（2）根据函数f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a ， x≥a ax2+x-a ，x＜a

．分①a≤3 和②a＞3，两种情况，分别根据函数f（x）的单调性求得函数的最小值，综合可得结论．

解答：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）＞7，即 3x²-|x-3|＞7，∴①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．
解①求得x≥3，解②求得 x＜-2，或

5

3

＜x＜3．
综上，不等式的解集为{x|x＜-2，或x＞

5

3

}．
（2）∵a＞0时，函数f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a ， x≥a ax2+x-a ，x＜a

．
①若a≤3，则f（x）=ax²-x+a，当对称轴x=

1

2a

≤3，即

1

6

≤a≤3 时，
函数f（x）在[3，+∞）上是增函数，故最小值为f（3）=10a-3．
当对称轴x=

1

2a

＞3，即 0＜a＜

1

6

时，函数f（x）在（3，

1

2a

）上是减函数，
在（

1

2a

，+∞）上是增函数，故函数的最小值为f（

1

2a

）=a-

1

4a

．
②若a＞3，当3≤x＜a时，则f（x）=ax²+x-a，由于对称轴x=-

1

2a

＜0，故函数f（x）在[3，a）上是增函数，函数的最小值为f（3）=8a+3．
当x≥a时，由于对称轴x=-

1

2a

＜0，故函数f（x）在[a，+∞）上是增函数，函数的最小值为f（a）=8a+3．
综上可得，当0＜a＜

1

6

时，f（x）的值域为[a-

1

4a

，+∞）；
当

1

6

≤a＜3 时，f（x）的值域为[10a-3，+∞）；
当3＜a时，f（x）的值域为[8a+3，+∞）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．