Question

已知函数f（x）=

1

x

+lnx．
（1）若g（x）=f（x）-mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导g′（x）=

1

x

-

1

x2

-m=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

-m；从而使导数恒大于或小于0即可；
（2）在[1，e]上，kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

可化为k＞

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

；从而转化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）g（x）=f（x）-mx=

1

x

+lnx-mx；
g′（x）=

1

x

-

1

x2

-m=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

-m；
∵x∈[1，+∞），
∴0＜

1

x

≤1；
故-

1

2

＜

1

x

-

1

2

≤

1

2

；
故0≤（

1

x

-

1

2

）²≤

1

4

；
故-m≤

1

4

-m-（

1

x

-

1

2

）²≤

1

4

-m；
故-m≥0或

1

4

-m≤0；
故m≤0或m≥

1

4

；
（2）在[1，e]上，kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

可化为
k＞

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

；
令F（x）=

1+2e

x2

+

lnx

x

；
故F′（x）=

-2(1+2e)

x3

+

1-lnx

x2

=

x(1-lnx)-2(1+2e)

x3

；
令m（x）=x（1-lnx）-2（1+2e）；
故m′（x）=-lnx≤0，
故m（x）≤m（1）=1-2（1+2e）＜0；
故F（x）=

1+2e

x2

+

lnx

x

在[1，e]上是减函数，
故

1+3e

e2

≤

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

≤1+2e；
故k＞

1+3e

e2

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于难题．