Question

知F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点(-

3

，1)且与抛物线y²=-8x有一个公共的焦点．
（1）求椭圆C方程；
（2）直线l过椭圆C的右焦点F₂且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；
（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得c=2，

3

a2

+

1

a2-4

=1，由此能求出椭圆方程．
（2）直线l的方程为y=x-2，联立方程组

y=x-2 x2 6 + y2 2 =1

，得2x²-6x+3=0，由此利用韦达定理能求出|AB|．
（3）设AB的中点为M（x₀，y₀），由题意得x0=

3

2

，y0=-

1

2

，线段AB的中垂线l₁：y=-x+1，由此能求出点P的坐标．

解答： 解：（1）由题意得 F₁（-2，0），c=2…（2分）
又

3

a2

+

1

a2-4

=1，
得a⁴-8a²+12=0，解得a²=6或a²=2（舍去），…（2分）
则b²=2，…（1分）
故椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．…（1分）
（2）直线l的方程为y=x-2．…（1分）
联立方程组

y=x-2 x2 6 + y2 2 =1

，消去y并整理得2x²-6x+3=0．…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x₁+x₂=3，x1x2=

3

2

．…（1分）
则|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

6

．…（2分）
（3）设AB的中点为M（x₀，y₀）．
∵x₁+x₂=3=2x₀，∴x0=

3

2

，…（1分）
∵y₀=x₀-2，∴y0=-

1

2

．…（1分）
线段AB的中垂线l₁斜率为-1，所以l₁：y=-x+1
设P（t，1-t）…（1分）
所以|MP|=

(t- 3 2 )2+( 3 2 -t)2

=

2

|t-

3

2

|．…（1分）
当△ABP为正三角形时，|MP|=

3

2

|AB|，
得

2

|t-

3

2

|=

3

2

•

6

，解得t=0或3．…（2分）
即P（0，1），或P（3，-2）．…（1分）

点评：本题考查椭圆C方程的求法，考查弦AB的长的求法，考查点P的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．