Question

设数列{a_n}满足：①a₁=1；②所有项a_n∈N^*；③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…设集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，将集合A_m中的元素的最大值记为b_m．换句话说，b_m是数列{a_n}中满足不等式a_n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b_n}为数列{a_n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；
（2）设a_n=3^n-1，求数列{a_n}的伴随数列{b_n}的前20之和；
（3）若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+c（其中c常数），求数列{a_n}的伴随数列{b_m}的前m项和T_m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据伴随数列的定义直接写出数列1，4，7的伴随数列；
（2）根据伴随数列的定义得：n≤1+log3m  (m∈N*)，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列{b_n}的前20项以及它们的和；
（3）由题意和a_n与S_n的关系式求出a_n，代入a_n≤m得n≤

m+1

2

   (m∈N*)，并求出伴随数列{b_m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b_m}的前m项和T_m．

解答： 解：（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对），
（2）由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m  (m∈N*)
∴当1≤m≤2，m∈N^*时，b₁=b₂=1，
当3≤m≤8，m∈N^*时，b₃=b₄=…=b₈=2，
当9≤m≤20，m∈N^*时，b₉=b₂₈=…=b₂₀=3，
∴b₁+b₂+…+b₂₀=1×2+2×6+3×12=50，
（3）∵a₁=S₁=1+c=1，∴c=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∴an=2n-1  (n∈N*)，
由a_n=2n-1≤m得：n≤

m+1

2

   (m∈N*)
因为使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
所以b1=b2=1，  b3=b4=2，…，  b2t-1=b2t=t   (t∈N*)，
当m=2t-1（t∈N^*）时：Tm=2•

1+(t-1)

2

•(t-1)+t=t2=

1

4

(m+1)2，
当m=2t（t∈N^*）时：Tm=2•

1+t

2

•t=t2+t=

1

4

m(m+2)，
所以Tm=

(m+1)2 4 ，m=2t-1(t∈N+) m(m+2) 4 ，m=2t(t∈N+)

．

点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题．