将5个编号为1.2.3.4.5的小球放入5个编号为1.2.3.4.5的盒子中．(1)有多少种放法?(2)每盒至多一球.有多少种放法?(3)恰好有一个空盒.有多少种放法?(4)每个盒内放一个球.并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同.有多少种方法?(5)每个盒子内投放一球.并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的.有多少种投放方法?(6)把5个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？
（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）

分析（1）本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．
（2）每盒至多一球，有A₅⁵=120种．
（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列．
（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C₅¹=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，利用列举法得得其余四个球的放法为的放法，由分步计数原理计算可得答案；
（5）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五个球的编号与盒子编号全不同的放法；
（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，问题得以解决．

解答解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，
∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．
同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，
∴共有5⁵=3125种放法．
（2）每盒至多一球，有A₅⁵=120种，
（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，
且小球数只能是1、1、，1，2．
先从5个小球中任选2个放在一起，有C²₅种方法，
然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A⁴₅种放法．
∴由分步计数原理知共有C²₅A⁴₅=1200种不同的放法．
（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C₅¹=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，
其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，
故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C₅¹=45种，
（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$-$\frac{1}{5!}$）=44，
∴满足条件的放法数为：A₅⁵-C₅¹×9-5!（$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$-$\frac{1}{5!}$）=120-45-44=31种
（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C₅¹C₄¹=20种放法．

点评本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．

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