Question

12．设等差数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_n}＞0（{n∈{N^*}}）$，其前n项和为S_n，若数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也为等差数列，则$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$的最大值为121．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，则$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，可得$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，解得d，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a_n，S_n+10，进而得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，则$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，∴$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，解得d=2，
∴S_n+10=（n+10）×1+$\frac{（n+10）（n+9）}{2}$×2=（n+10）²，${a}_{n}^{2}$=[1+2（n-1）]²=（2n-1）²．
∴$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$=$\frac{（n+10）^{2}}{（2n-1）^{2}}$=$[\frac{\frac{1}{2}（2n-1）+\frac{21}{2}}{（2n-1）}]^{2}$=$\frac{1}{4}（1+\frac{21}{2n-1}）^{2}$≤121，当n=1时取等号，
∴$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$的最大值为121．
故答案为：121．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数的单调性、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．