Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中， 平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形， ．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为 ，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题： CD⊥面PADCD⊥AP，

又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，

又AP平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；

（2）解： AB∥CD

由（1）知AB⊥面PAD∴ = ，

取AD中点O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，

以过点O且平行于AB的直线为x轴，如图建系，各点坐标如图．

由（1）易知平面PAD的一法向量为 ，

设平面PBC的法向量为

. ， . ，

取x=2， . = ，

故所求二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）依题意得CD⊥AP，AP⊥PD，即AP⊥平面PCD，可得平面PAB⊥平面PCD（2） ，AB∥CD

由（1）知AB⊥面PAD，由 = ，

取AD中点O，以过点O且平行于AB的直线为x轴建系，利用向量求解．

【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．