Question

设函数f（x）=x²-2x．
（I）证明：对任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）用比较法证明对任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立．
（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）证明：∵对任意x∈R，f（x）-（2x-6）=x²-4x+6=（x-2）²+2＞0，
∴f（x）＞2x-6恒成立．
（Ⅱ）不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|，等价于

x≤1 x2-2x≤-(x-1)-(x-2)

①，或

1＜x＜2 x2-2x≤(x-1)-(x-2)

，
或

x≥2 x2-2x≤(x-1)+(x-2)

③．
解①求得-

3

≤x≤1，解②求得1＜x＜2，解③求得2≤x≤3，
故不等式的解集为{x|-

3

≤x≤3}．

点评：本题主要考查用比较法证明不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．