Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2，侧棱长为4，M，N分别在AA₁和CC₁上，A₁M=CN=1，P是BC中点．
（1）求四面体A_1-PMN的体积；
（2）证明A₁B∥平面PMN．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由VA1-PMN=VP-A1MN，利用等积法能求出四面体A_1-PMN的体积．
（2）取CC₁的中点R，由已知条件推导出四边形A₁RNM是平行四边形，由此能证明平面A₁RB∥平面PMN，从而得到A₁B∥平面PMN．

解答： （1）解：取AC的中点O，由已知得BO⊥A₁MN，且BO=

3

，
∵P是BC中点，∴P到平面A₁MN的距离d=

1

2

BO=

3

2

，
又S△A1MN=

1

2

×1×2=1，
∴VA1-PMN=VP-A1MN=

1

3

S△A1MN×d=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．
（2）证明：取CC₁的中点R，
∵P是BC的中点，N是RC的中点，∴PN∥BR，
又A₁M∥RN，A₁M=RN，
∴四边形A₁RNM是平行四边形，
从而A₁R∥MN，
又A₁R∩BR=R，∴平面A₁RB∥平面PMN，
又A₁B?平面A₁RB，∴A₁B∥平面PMN．

点评：本题考查四面体体积的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．