Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3）是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

，，

解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得，故椭圆C的方程为．……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由                                         得．①
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得                                 解得
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分
（Ⅲ）若存在直线l₁满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得

因为直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以．
又，
因为即，
所以．
即
所以，解得 因为A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线₁满足条件，其方程为………………………………12分