Question

14．已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f'（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则满足f（x-1）+f（x²-x）＞0的实数x的范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （-2，-1）∪（1，2）
• C． （-1，3）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x-1）+f（x²-x）＞0转化成f（x-1）＞f（-x²+x），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答 解：∵f′（x）=x²+2cosx，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2sinx+C；
又f（0）=0得，f（x）=x³+2sinx；
则f（x）为奇函数，且为增函数；
故f（x-1）+f（x²-x）＞0可化为等价于f（x-1）＞f（-x²+x），
$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞-{x}^{2}+x}\\{-2＜x-1＜2}\\{-2＜-{x}^{2}+x＜2}\end{array}\right.$
解得1＜x＜2，
故选：A．

点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．